余弦定理的证明(2011年高考数学证明余弦定理)

三余弦定理的定理证明

如梁迹纳上图，已知OA是面α的一条斜线，OB⊥α。在α内过B作BC⊥AC，垂足为C，连接OC。OA和α所成角∠OAB=θ1，AC和AB所成角∠BAC=θ2，OA和AC所成角∠OAC=θ。求州正证cosθ=cosθ1*cosθ2

证明：

∵OB⊥α

∴BC是OC在α上的射影

∵BC⊥AC

∴OC⊥AC（三垂线定理）

由三角函数的定义可知

cosθ1=AB/OA，cosθ2=AC/AB，cosθ=AC/OA

∴cosθ1*cosθ2=AB/OA*AC/AB=AC/OA=cosθ

或利用三面角余弦定理来证明。

在三面角A-OBC中，设二面角O-AB-C为∠AB，橡没易证∠AB=90°

由三面角余弦定理得

cos∠OAC=cos∠OAB*cos∠CAB+sin∠OAB*sin∠CAB*cos∠AB

即cosθ=cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2*cos90°=cosθ1*cosθ2

余弦定理怎么证明

余弦定弊梁理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求宴带第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理证明方法如图所示：

平面向量证法：

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）。

∴c·c=(a+b)·(a+b)。

∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)。

（以上粗体字符表示向量）。

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ。

∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC。

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b。

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是晌卜芦将cosC移到左边表示一下。

用勾股定理证明余弦定理

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠拍模B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=co**c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-co**c

根据勾股定敬贺旦理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-co**c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*co*

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*co*+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*co*

co*=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,

如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方,那么第三边所对的亮扰角一定是直

角,如果小于第三边的平方,那么第三边所

对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。

同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/52606.htm

用向量方法证明三角形的余弦定理

证明：令三角形ABC的三个角分镇猛别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。

那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a

则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，

那么|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2AC·AB，

又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，

a^2=b^2+c^2-2bccosA。

同理可用向量证明得到，

b^2=a^2+c^2-2bcco*，

c^2=b^2+a^2-2bccosC。

上述即用向量证明了三角形的余弦定理。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且搜春a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法御漏桥

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源：百度百科-向量

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